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等差数列教案
作为一名教师，时常会需要准备好教案，借助教案可以更好地组织教学活动。快来参考教案是怎么写的吧！以下是小编收集整理的等差数列教案，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
等差数列教案1
教学目标
1．明确等差数列的定义．
2．掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题
3．培养学生观察、归纳能力．
教学重点
1． 等差数列的概念；
2． 等差数列的通项公式
教学难点
等差数列“等差”特点的理解、把握和应用
教学方法
启发式数学
教具准备
投影片1张(内容见下面)
教学过程
(I)复习回顾
师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。（放投影片）
（Ⅱ）讲授新课
师：看这些数列有什么共同的特点？
1，2，3，4，5，6； ①
10，8，6，4，2，…； ②
③
生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列① （1≤n≤6）； （2≤n≤6）
对于数列② -2n（n≥1）
（n≥2）
对于数列③
（n≥1）
（n≥2）
共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，-2， 。
二、等差数列的`通项公式
师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列 的首项是 ，公差是d，则据其定义可得：
若将这n-1个等式相加，则可得：
即：
即：
即：
……
由此可得：
师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项 和公差d，便可求得其通项 。
如数列① （1≤n≤6）
数列②： （n≥1）
数列③：
（n≥1）
由上述关系还可得：
即：
则： =
如：
三、例题讲解
例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：（1）由
n=20，得
（2）由
得数列通项公式为：
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4（n-1）成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。
（Ⅲ）课堂练习
生：（口答）课本P118练习3
（书面练习）课本P117练习1
师：组织学生自评练习（同桌讨论）
（Ⅳ）课时小结
师：本节主要内容为：①等差数列定义。
即 (n≥2)
②等差数列通项公式 (n≥1)
推导出公式：
（V）课后作业
一、课本P118习题3.2 1，2
二、1．预习内容：课本P116例2—P117例4
2．预习提纲：①如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题？
②等差数列有哪些性质？
板书设计
课题
一、定义
1．（n≥2）
一、通项公式
2．公式推导过程
例题
教学后记
等差数列教案2
一、等差数列
1、定义
注：“从第二项起”及
“同一常数”用红色粉笔标注
二、等差数列的通项公式
（一）例题与练习
通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。
（二）新课探究
1、由引入自然的给出等差数列的概念：
如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调：
① “从第二项起”满足条件； f
②公差d一定是由后项减前项所得；
③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；
在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：
an+1—an=d （n≥1） ;h4z+0"6vG
同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。
1。 9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=—1
2。 0。70，0。71，0。72，0。73，0。74……；√ d=0。01
3。 0，0，0，0，0，0，……。; √ d=0
4。 1，2，3，2，3，4，……；×
5。 1，0，1，0，1，……×
其中第一个数列公差<0，>0，第三个数列公差=0
由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0
2、第二个重点部分为等差数列的通项公式
在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项 ，公差d，由学生研究分组讨论a4 的通项公式。通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式，进而归纳an的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。
若一等差数列{an }的首项是a1，公差是d，
则据其定义可得：
a2 — a1 =d 即： a2 =a1 +d
a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d
……
猜想： a40 = a1 +39d
进而归纳出等差数列的通项公式：
an=a1+（n—1）d
此时指出： 这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法——————迭加法：
a2 – a1 =d
a3 – a2 =d
a4 – a3 =d
……
an+1 – an=d
将这（n—1）个等式左右两边分别相加，就可以得到 an– a1= （n—1） d即 an= a1+（n—1） d （1） 当n=1时，（1）也成立， 所以对一切n∈N﹡，上面的公式都成立 因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。 在迭加法的证明过程中，我采用启发式教学方法。 利用等差数列概念启发学生写出n—1个等式。 对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n—1个等式相加。证出通项公式。 在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想” 的教学要求 接着举例说明：若一个等差数列｛an｝的首项是１，公差是２，得出这个数列的通项公式是：an=1+（n—1）×2 ， 即an=2n—1 以此来巩固等差数列通项公式运用 同时要求画出该数列图象，由此说明等差数列是关于正整数n一次函数，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。 （三）应用举例 这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；第30项；第40项 （2）—401是不是等差数列—5，—9，—13，…的项？如果是，是第几项？ 在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式；第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式an 例2 在等差数列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首项a1与公差d。 在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固 例3 是一个实际建模问题 建造房屋时要设计楼梯，已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米，第三层离地面5。8米，若楼梯设计为等高的16级台阶，问每级台阶高为多少米？ 这道题我采用启发式和讨论式相结合的.教学方法。启发学生注意每级台阶“等高”使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列，引导学生将该实际问题转化为数学模型——————等差数列：（学生讨论分析，分别演板，教师评析问题。问题可能出现在：项数学生认为是16项，应明确a1为第2层的楼底离地面的高度，a2表示第一级台阶离地面的高度而第16级台阶离地面高度为a17，可用展示实际楼梯图以化解难点） 设置此题的目的： 1。加强同学们对应用题的综合分析能力， 2。通过数学实际问题引出等差数列问题，激发了学生的兴趣； 3。再者通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法 （四）反馈练习 1、小节后的练习中的第1题和第2题（要求学生在规定时间内完成）。目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。 2、书上例3）梯子的最高一级宽33c，最低一级宽110c，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。 目的：对学生加强建模思想训练。 3、若数例{an} 是等差数列，若 bn = an ，（为常数）试证明：数列{bn}是等差数列 此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。 （五）归纳小结 （由学生总结这节课的收获） 1。等差数列的概念及数学表达式． 强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数 2。等差数列的通项公式 an= a1+（n—1） d会知三求一 3．用“数学建模”思想方法解决实际问题 （六）布置作业 必做题：课本P114 习题3。2第2，6 题 选做题：已知等差数列{an}的首项a１= —24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求） 五、板书设计 在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式。 2．会解决知道中的三个，求另外一个的问题。 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式。 教学难点：等差数列的性质 教学过程： 一、复习引入：（课件第一页） 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。 （课件第二页） ⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{ },若 － =d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈n ，则此数列是等差数列，d 为公差。 2．等差数列的通项公式： 【或 】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列 的'首项是 ，公差是d，则据其定义可得： 即： 即： 即： …… 由此归纳等差数列的通项公式可得： （课件第二页） 第二通项公式 （课件第二页） 三、例题讲解 例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项(课本p111) ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 例2 在等差数列 中，已知 ， ，求 , , 例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列 中，设数列的第s项和第t项分别为 和 ，计算 的值，你能发现什么结论？并证明你的结论。 小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率 例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。（课本p112例3） 例5 已知数列{ }的通项公式 ，其中 、 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？（课本p113例4） 分析：由等差数列的定义，要判定 是不是等差数列，只要看 （n≥2）是不是一个与n无关的常数。 注：①若p=0，则{ }是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，… ②若p≠0, 则{ }是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q. ③数列{ }为等差数列的充要条件是其通项 =pn+q (p、q是常数)。称其为第3通项公式④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。 例6.成等差数列的四个数的和为26，第二项与第三项之积为40，求这四个数. 四、练习： 1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项. （2）求等差数列10，8，6，……的第20项. （3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. （4）－20是不是等差数列0，－3 ，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 2.在等差数列{ }中， （1）已知 =10, =19,求 与d; 五、课后作业： 习题3.2 1（2），（4） 2.（2）， 3， 4， 5， 6 . 8. 9. 教学目标 1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题. （1）了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列，了解等差中项的概念； （2）正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项； （3）能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题. 2.通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想. 3.通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点. 关于等差数列的教学建议 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 ①教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用，等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能. ②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外， 出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点. （3）教法建议 ①本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用． ②等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义． ③等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件． ④由学生根据一般数列的`表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项 可看作项数 的一次型（ ）函数，这与其图像的形状相对应． ⑤有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式 是数列第 项 与项数 之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是 ，即其末项未必是该数列的第 项，在教学中一定要强调这一点． ⑥等差数列前 项和的公式推导离不开等差数列的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究等差数列的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣． ⑦等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境． 等差数列通项公式的教学设计示例 教学目标 1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题； 2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想； 3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣. 教学重点，难点 教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用． 教学用具 实物投影仪，多媒体软件，电脑. 教学方法 研探式. 教学过程（） 一.复习提问 前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？ 等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用. 二.主体设计 通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知 求 ）.找学生试举一例如：“已知等差数列 中，首项 ，公差 ，求 .”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上. 1.方程思想的运用 （1）已知等差数列 中，首项 ，公差 ，则－397是该数列的第______项. （2）已知等差数列 中，首项 ， 则公差 （3）已知等差数列 中，公差 ， 则首项 这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量 ， 在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量. 2.基本量方法的使用 （1）已知等差数列 中， ，求 的值. （2）已知等差数列 中， ， 求 . 若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于 和 的二元方程组，所以这些等差数列是确定的，由 和 写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于 和 的二元方程组，以求得 和 ， 和 称作基本量. 教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于 和 的二元方程，这是一个 和 的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）. 如：已知等差数列 中， … 由条件可得 即 ，可知 ，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题 （3）已知等差数列 中， 求 ； ； ； ；…. 类似的还有 （4）已知等差数列 中， 求 的值. 以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出 3.研究等差数列的单调性，考察 随项数 的变化规律.着重考虑 的情况. 此时 是 的一次函数，其单调性取决于 的符号，由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的. 4.研究项的符号 这是为研究等差数列前 项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如 （1）已知数列 的通项公式为 ，问数列从第几项开始小于0？ （2）等差数列 从第________项起以后每项均为负数. 三.小结 1. 用方程思想认识等差数列通项公式； 2. 用函数思想解决等差数列问题. 教学目标： 1.知识与技能目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握并会用等差数列的通项公式，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 2.过程与方法目标：培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力;在领会函数与数列关系的前提下，渗透函数、方程的思想。 3.情感态度与价值观目标：通过对等差数列的研究培养学生主动探索、勇于发现的求知的精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 教学重点： 等差数列的概念及通项公式。 教学难点： (1)理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 (2)等差数列的通项公式的推导过程及应用。 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.回忆上一节课学习数列的定义，请举出一个具体的例子。表示数列有哪几种方法——列举法、通项公式、递推公式。我们这节课接着学习一类特殊的数列——等差数列。 2.由生活中具体的数列实例引入 (1).国际奥运会早期，撑杆跳高的记录近似的由下表给出： 你能看出这4次撑杆条跳世界记录组成的数列，它的各项之间有什么关系吗? (2)某剧场前10排的座位数分别是： 48、46、44、42、40、38、36、34、32、30 引导学生观察：数列①、②有何规律? 引导学生发现这些数字相邻两个数字的差总是一个常数，数列①先左到右相差0.2，数列②从左到右相差-2。 二.新课探究，推导公式 1.等差数列的概念 如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。 强调以下几点： ① “从第二项起”满足条件; ②公差d一定是由后项减前项所得; ③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数” ); 所以上面的2、3都是等差数列，他们的公差分别为0.20，-2。 在学生对等差数列有了直观认识的基础上，我将给出练习题，以巩固知识的学习。 [练习一]判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是?如果是，写出首项a1和公差d，如果不是，说明理由。 1.3，5，7，…… √ d=2 2.9，6，3，0，-3，…… √ d=-3 3. 0，0，0，0，0，0，…….; √ d=0 4. 1，2，3，2，3，4，……;× 5. 1，0，1，0，1，……× 在这个过程中我将采用边引导边提问的方法，以充分调动学生学习的积极性。 2.等差数列通项公式 如果等差数列{an｝首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的`定义可得： a2 - a1 =d即：a2 =a1 +d a3 – a2 =d即：a3 =a2 +d = a1 +2d a4 – a3 =d即：a4 =a3 +d = a1 +3d …… 猜想: a40 = a1 +39d 进而归纳出等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d 此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法： n=a1+(n-1)d a2-a1=d a3-a2=d a4-a3 =d …… an –a(n-1) =d 将这(n-1)个等式左右两边分别相加，就可以得到 an-a1=(n-1)d 即an=a1+(n-1)d (Ⅰ) 当n=1时，(Ⅰ)也成立，所以对一切n∈N﹡，上面的公式(Ⅰ)都成立，因此它就是等差数列{an｝的通项公式。 三.应用举例 例1求等差数列，12，8，4，0，…的第10项;20项;第30项; 例2 -401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项?如果是，是第几项? 四.反馈练习 1.P293练习A组第1题和第2题(要求学生在规定时间内做完上述题目，教师提问)。目的：使学生熟悉通项公式对学生进行基本技能训练。 五.归纳小结提炼精华 (由学生总结这节课的收获) 1.等差数列的概念及数学表达式. 强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数 2.等差数列的通项公式an= a1+(n-1) d会知三求一 六.课后作业运用巩固 必做题：课本P284习题A组第3，4，5题 一、知识与技能 1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项. 二、过程与方法 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生：的观察力及归纳推理能力； 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生：思维的深刻性和灵活性. 三、情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生：的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识. 教学过程 导入新课 师：上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子) (1)0，5，10，15，20，25，…; (2)48，53，58，63，…; (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…; (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，…. 请你们来写出上述四个数列的第7项. 生：第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510. 师：我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说. 生：这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78. 师：说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征. 生：1每相邻两项的差相等，都等于同一个常数. 师：作差是否有顺序，谁与谁相减？ 生：1作差的顺序是后项减前项，不能颠倒. 师：以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列. 这就是我们这节课要研究的内容. 推进新课 等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的'公差(常用字母“d”表示). （1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； （2）对于数列{an}，若an-a n-1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列，d叫做公差. 师：定义中的关键字是什么?(学生：在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师：应该教会学生：如何深入理解一个概念，以培养学生：分析问题、认识问题的能力) 生：从“第二项起”和“同一个常数”. 师：：很好！ 师：请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 生：数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，…. 师：好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考. ［合作探究］ 等差数列的通项公式 师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么? 生：a2-a1=d,即a2=a1+d. 师：对，继续说下去! 生：a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d; a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d; …… 师：好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗? 生：由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d. 师：很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗? 生：前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的： 因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.将它们相加便可以得到：an=a1+(n-1)d. 师：太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了. ［教师：精讲］ 由上述关系还可得：am=a1+(m-1)d, 即a1=am-(m-1)d. 则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d, 即等差数列的第二通项公式an=am+(n-m)d.(这是变通的通项公式) 由此我们还可以得到. ［例题剖析］ 【例1】（1）求等差数列8，5，2,…的第20项; （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 师：这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗? 生：1这题太简单了!首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49. 师：好!下面我们来看看第（2）小题怎么做. 生：2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1). 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项. 师：刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是an,a1,d,n组成的方程(独立的量有三个). 说明:(1)强调当数列｛an｝的项数n已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生：以前见得较少，可向学生：着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an=-401成立. 【例2】已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 例题分析： 师：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要根据什么? 生：只要看差an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数. 师：说得对，请你来求解. 生：当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)〕 an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p为常数, 所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p. 师：这里要重点说明的是： (1)若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…. (2)若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q. (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.课堂练习 (1)求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项. 分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所┣笙. 解：根据题意可知a1=3，d=7-3=4.∴该数列的通项公式为an=3+(n-1)×4，即an=4n-1(n≥1，n∈N*).∴a4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39. 评述：关键是求出通项公式. (2)求等差数列10，8，6，…的第20项. 解：根据题意可知a1=10，d=8-10=-2. 所以该数列的通项公式为an=10+(n-1)×(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28. 评述：要求学生：注意解题步骤的规范性与准确性. (3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. 分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n值，使得an等于这个数. 解：根据题意可得a1=2，d=9-2=7.因而此数列通项公式为an=2+(n-1)×7=7n-5. 令7n-5=100，解得n=15.所以100是这个数列的第15项. (4)-20是不是等差数列0，，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. 解：由题意可知a1=0，,因而此数列的通项公式为. 令，解得.因为没有正整数解，所以-20不是这个数列的项. 课堂小结 师：（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生：活中能否运用？(让学生：反思、归纳、总结,这样来培养学生：的概括能力、表达能力) 生：通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n-a n-1=d(n≥2);其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n≥1). 教学目标： （1）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式； (2)利用等差数列的通项公式能由a1,d,n,an“知三求一”，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想； （3）通过作等差数列的图像，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列的通项公式应用，渗透方程思想。 教学重、难点：等差数列的定义及等差数列的通项公式。 知识结构：一般数列定义通项公式法 递推公式法 等差数列表示法应用 图示法 性质列举法 教学过程： （一）创设情境： 1．观察下列数列： 1，2，3，4，……；(军训时某排同学报数)① 10000，9000，8000，7000，……；（温州市房价平均每月每平方下跌的价位）② 2，2，2，2，……；（坐38路公交车的车费）③ 问题：上述三个数列有什么共同特点？（学生会发现很多规律，如都是整数，再举几个非整数等差数列例子让学生观察） 规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。 引出等差数列。 （二）新课讲解： 1．等差数列定义： 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。 问题：（a）能否用数学符号语言描述等差数列的定义？ 用递推公式表示为或． (b)例1：观察下列数列是否是等差数列： （1）1，-1，1，-1，… (2)1,2,4,6,8,10,… 意在强调定义中“同一个常数” (c)例2：求上述三个数列的公差；公差d可取哪些值？d>0，d=0,d<0时，数列有什么特点 （d有不同的分类，如按整数分数分类，再举几个等差数列的例子观察d的分类对数列的影 响） 说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列。 例3：求等差数列13，8，3，-2，…的第5项。第89项呢？ 放手让学生利用各种方法求a89，从中找出合适的方法，如利用不完全归纳法或累加法，然 后引出求一般等差数列的通项公式。 2．等差数列的通项公式：已知等差数列的首项是，公差是，求． （1）由递推公式利用用不完全归纳法得出 由等差数列的定义：，，，…… ∴，，，…… 所以，该等差数列的'通项公式：． (验证n=1时成立)。 这种由特殊到一般的推导方法，不能代替严格证明。要用数学归纳法证明的。 （2）累加法求等差数列的通项公式 让学生体验推导过程。(验证n=1时成立) 3．例题及练习： 应用等差数列的通项公式 追问：（1）-232是否为例3等差数列中的项？若是，是第几项？ （2）此数列中有多少项属于区间[-100，0]？ 法一：求出a1,d,借助等差数列的通项公式求a20。 法二：求出d，a20=a5+15d=a12+8d 在例4基础上，启发学生猜想证明 练习： 梯子的最高一级宽31cm，最低一级宽119cm,中间还有3级，各级的宽度成等差数列，请计算中间各级的宽度。 观察图像特征。 思考：an是关于n的一次式，是数列{an}为等差数列的什么条件？ 课后反思：这节课的重点是等差数列定义和通项公式概念的理解，而不是公式的应用，有些应试教育的味道。有时抢学生的回答，没有真正放手让学生的思维发展，学生活动太少，课堂氛围不好。学生对问题的反应出乎设计的意料时，应该顺着学生的思维发展。 一、教学目标 【知识与技能】能够复述等差数列的概念，能够学会等差数列的通项公式的推导过程及蕴含的数学思想。 【过程与方法】在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，提高知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高分析问题和解决问题的能力。 【情感态度与价值观】通过对等差数列的研究，具备主动探索、勇于发现的'求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 二、教学重难点 【教学重点】 等差数列的概念、等差数列的通项公式的推导过程及应用。 【教学难点】 等差数列通项公式的推导。 三、教学过程 环节一：导入新课 教师PPT展示几道题目： 1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5一个数，可以得到数列：0，5，15，20，25 2.小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为：100，98，96，94，92。 在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中交情的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。 教师提问学生这几组数有什么特点？学生回答从第二项开始，每一项与前一项的差都等于一个常数，教师引出等差数列。 环节二：探索新知 1.等差数列的概念 学生阅读教材，同桌讨论，类比等比数列总结出等差数列的概念 如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。 问题1：等差数列的概念中，我们应该注意哪些细节呢？ 环节三：课堂练习 抢答：下列数列是否为等差数列？ （1）1，2，4，6，8，10，12，…… （2）0，1，2，3，4，5，6，…… （3）3，3，3，3，3，3，3，…… （4）-8，-6，-4，-2，0，2，4，…… （5）3,0，-3，-6，-9，…… 环节四：小结作业 小结：1.等差数列的概念及数学表达式。 关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数。 作业：现实生活中还有哪些等差数列的实际应用呢？根据实际问题自己编写两道等差数列的题目并进行求解。 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的`同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情分析对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 二、教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学程序 本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用例解（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业，六个教学环节构成。 (一)复习引入： 1.从函数观点看,数列可看作是定义域为__________对应的一列函数值，从而数列的通项公式也就是相应函数的______ 。（N﹡；解析式） 通过练习1复习上节内容，为本节课用函数思想研究数列问题作准备。 2. 小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为： 100，98，96，94，92 ① 3. 小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为 5，10，15，20，25 ② 通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。 (二) 新课探究 1、由引入自然的给出等差数列的概念： 如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调： ① “从第二项起”满足条件； ②公差d一定是由后项减前项所得； ③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）； 在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式： an+1-an=d (n≥1) 同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。 1. 9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=-1 2. 0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.01 3. 0，0，0，0，0，0，…….; √ d=0 4. 1，2，3，2，3，4，……；× 5. 1，0，1，0，1，……× 其中第一个数列公差0,第三个数列公差=0 由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0 设计思路 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。 教学过程： 一、片头 （30秒以内） 前面学习了数列的概念与简单表示法，今天我们来学习一种特殊的'数列－等差数列。本节微课重点讲解等差数列的定义， 并且能初步判断一个数列是否是等差数列。 30秒以内 二、正文讲解（8分钟左右） 第一部分内容：由三个问题，通过判断分析总结出等差数列的定义 60 秒 第二部分内容：给出等差数列的定义及其数学表达式50 秒 第三部分内容：哪些数列是等差数列？并且求出首项与公差。根据这个练习总结出几个常用的结152秒 三、结尾 （30秒以内）授课完毕，谢谢聆听！30秒以内 自我教学反思 本节课通过生活中一系列的实例让学生观察，从而得出等差数列的概念，并在此基础上学会判断一个数列是否是等差数列，培养了学生观察、分析、归纳、推理的能力。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理性的认识过程。 2。2。1等差数列学案 一、预习问题： 1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ， 通常用字母 表示。 2、等差中项：若三个数 组成等差数列，那么A叫做 与 的 ， 即 或 。 3、等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列; 时，数列为递减数列; 时，数列为常数列;等差数列不可能是 。 4、等差数列的通项公式： 。 5、判断正误： ①1，2，3，4，5是等差数列; （ ） ②1，1，2，3，4，5是等差数列; （ ） ③数列6，4，2，0是公差为2的等差数列; （ ） ④数列 是公差为 的`等差数列; （ ） ⑤数列 是等差数列; （ ） ⑥若 ，则 成等差数列; （ ） ⑦若 ，则数列 成等差数列; （ ） ⑧等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的数列; （ ） ⑨等差数列的公差是该数列中任何相邻两项的差。 （ ） 6、思考：如何证明一个数列是等差数列。 二、实战操作： 例1、（1）求等差数列8，5，2，的第20项。 （2） 是不是等差数列 中的项？如果是，是第几项？ （3）已知数列 的公差 则 例2、已知数列 的通项公式为 ，其中 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？ 例3、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为 求这5个数。 一、教材分析 1、教学目标： A．理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想； B．培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 C 通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 2、教学重点和难点 ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。用不完全归纳法推导等差数列的通项公式。 二、教法分析 采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、教学程序 本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用例解（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业，六个教学环节构成。 (一)复习引入： 1.全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋底长，单位是c）分别是 21，22，23，24，25， 2.某剧场前10排的座位数分别是： 38，40，42，44，46，48，50，52，54，56。 3．某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：）是： 7500，8000，8500，9000，9500，10000，10500。 共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数。 (二) 新课探究 1、给出等差数列的概念： 如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调： ① “从第二项起”满足条件； ②公差d一定是由后项减前项所得； ③公差可以是正数、负数，也可以是0。 2、推导等差数列的通项公式 若等差数列{an }的首项是 ,公差是d, 则据其定义可得： - =d 即： = +d – =d 即： = +d = +2d – =d 即： = +d = +3d 进而归纳出等差数列的通项公式： = +(n-1)d 此时指出： 这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法： – =d – =d – =d – =d 将这（n-1）个等式左右两边分别相加,就可以得到 – = (n-1) d即 = +(n-1) d 当n=1时，上面等式两边均为 ，即等式也是成立的，这表明当n∈ 时上面公式都成立，因此它就是等差数列{an }的通项公式。 接着举例说明：若一个等差数列｛ ｝的首项是１，公差是２，得出这个数列的通项公式是： =1+(n-1)×2 ， 即 =2n-1 以此来巩固等差数列通项公式运用 （三）应用举例 这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的.理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的 、d、n、 这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项； （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？ 第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式 例2 在等差数列｛an｝中，已知 =10， =31，求首项 与公差d。 在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固 例3 梯子的最高一级宽33c，最低一级宽110c，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。 (四)反馈练习 1、小节后的练习中的第1题和第2题（要求学生在规定时间内完成）。目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。 2、若数列{ } 是等差数列,若 = ，（为常数）试证明：数列{ }是等差数列 此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。 （五）归纳小结 （由学生总结这节课的收获） 1.等差数列的概念及数学表达式． 强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数 2.等差数列的通项公式 = +(n-1) d会知三求一 (六) 布置作业 必做题：课本P114 习题3.2第2，6 题 选做题：已知等差数列{ }的首项 = -24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求） 四、板书设计 在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。 【教学目标】 一、知识与技能 1.掌握等差数列前n项和公式； 2.体会等差数列前n项和公式的推导过程; 3.会简单运用等差数列前n项和公式。 二、过程与方法 1． 通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法； 2. 通过公式的运用体会方程的思想。 三、情感态度与价值观 结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。 【教学重点】 等差数列前n项和公式的推导和应用。 【教学难点】 在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。 【重点、难点解决策略】 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。 【教学用具】 多媒体软件，电脑 【教学过程】 一、明确数列前n项和的定义，确定本节课中心任务: 本节课我们来学习《等差数列的前n项和》，那么什么叫数列的前n项和呢，对于数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和，用sn表示，记sn=a1+a2+a3+…+an， 如S1 =a1， S7 =a1+a2+a3+……+a7，下面我们来共同探究如何求等差数列的前n项和。 二、问题牵引，探究发现 问题1：（播放媒体资料情景引入）印度泰姬陵世界七大奇迹之一。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少圆宝石吗？ 即: S100=1+2+3+······+100=？ 著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世;那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？请同学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。 特点： 首项与末项的和： 1＋100＝101， 第2项与倒数第2项的和： 2＋99 ＝101， 第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101， · · · · · · 第50项与倒数第50项的和： 50＋51＝101， 于是所求的和是： 101×50＝5050。 1+2+3+ ······ +100= 101×50 = 5050 同学们讨论后总结发言：等差数列项数为偶数相加时首尾配对，变不同数的加法运算为相同数的乘法运算大大提高效率。高斯的方法很妙，如果等差数列的项数为奇数时怎么办呢？ 探索与发现1：假如让你计算从第一层到第21层的珠宝数，高斯的首尾配对法行吗？ 即计算S21=1+2+3+ ······ +21的值，在这个过程中让学生发现当项数为奇数时，首尾配对出现了问题，通过动画演示引导帮助学生思考解决问题的办法，为引出倒序相加法做铺垫。 把“全等三角形”倒置，与原图构成平行四边形。平行四边形中的每行宝石的个数均为21个，共21行。有什么启发？ 1+ 2 + 3 + …… +20 +21 21 + 20 + 19 + …… + 2 +1 S21=1+2+3+…+21=（21+1）×21÷2=231 这个方法也很好，那么项数为偶数这个方法还行吗？ 探索与发现2：第5层到12层一共有多少颗圆宝石？ 学生探究的同时通过动画演示帮助学生思考刚才的方法是否同样可行？请同学们自主探究一下（老师演示动画帮助学生） S8=5+6+7+8+9+10+11+12= 【设计意图】进一步引导学生探究项数为偶数的等差数列求和时倒序相加是否可行。从而得出倒序相加法适合任意项数的等差数列求和，最终确立倒序相加的思想和方法！ 好，这样我们就找到了一个好方法——倒序相加法！现在来试一试如何求下面这个等差数列的前n项和？ 问题2：等差数列1,2,3,…,n, … 的前n项和怎么求呢？ 解:（根据前面的学习，请学生自主思考独立完成） 【设计意图】强化倒序相加法的理解和运用，为更一般的等差数列求和打下基础。 至此同学们已经掌握了倒序相加法，相信大家可以推导更一般的等差数列前n项和公式了。 问题3：对于一般的等差数列{an}首项为a1，公差为d，如何推导它的前n项和sn公式呢？ 即求 =a1+a2+a3+……+an= ∴（1）+（2）可得：2 ∴ 公式变形：将代入可得： 【设计意图】学生在前面的探究基础上水到渠成顺理成章很快就可以推导出一般等差数列的前n项和公式，从而完成本节课的中心任务。在这个过程中放手让学生自主推导，同时也复习等差数列的通项公式和基本性质。 三、公式的认识与理解： 1、根据前面的推导可知等差数列求和的两个公式为： （公式一） （公式二） 探究： 1、（1）相同点： 都需知道a1与n; （2）不同点： 第一个还需知道an ，第二个还需知道d; （3）明确若a1,d,n,an中已知三个量就可求Sn。 2、两个公式共涉及a1, d, n, an，Sn五个量，“知三”可“求二”。 2、探索与发现3：等差数列前n项和公式与梯形面积公式有什么联系？ 用梯形面积公式记忆等差数列前 n 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列 n 项和的两个公式.，请学生联想思考总结来有助于记忆。 【设计意图】帮助学生类比联想，拓展思维，增加兴趣，强化记忆 四、公式应用、讲练结合 1、练一练： 有了两个公式，请同学们来练一练，看谁做的快做的对！ 根据下列各题中的条件，求相应的`等差数列｛an｝的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 解：500 （2）a1=100，d=－2，n=50 解： 【设计意图】熟悉并强化公式的理解和应用，进一步巩固“知三求二”。 下面我们来看两个例题： 2、例题1： 20xx年11月14日教育部下发了<<关于在中小学实施“校校通”工程的通知>>.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从20xx年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网. 据测算,20xx年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从20xx年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 解:设从20xx年起第n年投入的资金为an,根据题意,数列｛an｝是一个等差数列,其中 a1=500, d=50 那么，到20xx年（n=10），投入的资金总额为 答: 从20xx年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。 【设计意图】让学生体会数列知识在生活中的应用及简单的数学建模思想方法。 3、例题2： 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件可以确定这个等差数列的前n项和的公式吗？ 解： 法1：由题意知 , 代入公式得： 解得, 法2：由题意知 , 代入公式得： ， 即， ②①得，，故 由得故 【设计意图】掌握并能灵活应用公式并体会方程的思想方法。 4、反馈达标: 练习一：在等差数列{an}中，a1=20， an=54，sn =999,求n. 解：由解n=27 练习2： 已知{an}为等差数列，,求公差。 解：由公式得 即d=2 【设计意图】进一强化求和公式的灵活应用及化归的思想（化归到首项和公差这两个基本元）。 五、归纳总结 分享收获：(活跃课堂气氛，鼓励学生大胆发言，培养总结和表达能力) 1、倒序相加法求和的思想及应用； 2、等差数列前n项和公式的推导过程； 3、掌握等差数列的两个求和公式,; 4、前n项和公式的灵活应用及方程的思想。 ………… 六、作业布置： （一）书面作业： 1.已知等差数列{an},其中d=2,n=15, an =-10,求a1及sn。 2.在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列,求这10个数的和。 （二）课后思考： 思考：等差数列的前n项和公式的推导方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢? 【设计意图】通过布置书面作业巩固所学知识及方法，同时通过布置课后思考题来延伸知识拓展思维。 附：板书设计 等差数列的前n项和 1、数列前n项和的定义： 2、等差数列前n项和公式的推导： 3、公式的认识与理解： 公式一： 公式二： 四：例题及解答： 议练活动： [教学目标] 1.知识与技能目标：掌握等差数列的概念；理解等差数列的通项公式的推导过程；了解 等差数列的函数特征；能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题。 2.过程与方法目标：让学生亲身经历“从特殊入手，研究对象的性质，再逐步扩大到一般”这一研究过程，培养他们观察、分析、归纳、推理的能力。通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力。 3.情感态度与价值观目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。 [教学重难点] 1.教学重点：等差数列的概念的理解，通项公式的推导及应用。 2.教学难点：（1）对等差数列中“等差”两字的把握； （2）等差数列通项公式的推导。 [教学过程] 一.课题引入 创设情境 引入课题：(这节课我们将学习一类特殊的数列，下面我们看这样一些例子） （1）、在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星： 1682，1758，1834，1910，1986，（ ） 你能预测出下次观测到哈雷慧星的大致时间吗？判断的依据是什么呢？ （2）、通常情况下，从地面到11km的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。 （3） 1，4，7，10，（ ），16，… （4） 2，0，-2，-4，-6，（ ）,… 它们共同的规律是？ 从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数。 我们把有这一特点的数列叫做等差数列。 二、新课探究 （一）等差数列的定义 1、等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。 （1）定义中的`关健词有哪些？ （2）公差d是哪两个数的差？ 2、等差数列定义的数学表达式： 试一试：它们是等差数列吗？ (1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10… (2) 5，5，5，5，5，5，… (3) -1，-3，-5，-7，-9,… (4) 数列{an}，若an+1-an=3 3、等差中顶定义 在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列： （1）、2 ，( ) ,4 （2）、-12,( ) ，0 ( 3 ) a ,( ),b 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。（二）等差数列的通项公式 探究1:等差数列的通项公式(求法一) 如果等差数列 首项是 ，公差是 ，那么这个等差数列 如何表示？ 呢？ 根据等差数列的定义可得： ， ， ，…。 所以： ， ， ， …… 由此得 ， 因此等差数列的通项公式就是: ， 探究2:等差数列的通项公式(求法二) 根据等差数列的定义可得： …… 将以上 -1个式子相加得等差数列的通项公式就是: ， 三、应用与探索 例1、(1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。 (2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？ （2）、分析：要判断-401是不是数列的项，关键是求出通项公式，并判断是否存在正整数n，使得 成立，实质上是要求方程 的正整数解。 例2、在等差数列中,已知 =10, =31，求首项 与公差d. 解：由 ，得 。 在应用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d过程中,对an,a1,n,d这四个变量,知道其中三个量就可以求余下的一个量,这是一种方程的思想。 巩固练习 1. 等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1,则a =（ ）。 A. 1 B. -1 C. -2 D. 22.一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列。求公差d。四、小结 1．等差数列的通项公式: 公差 ； 2. 等差数列的计算问题,通常知道其中三个量就可以利用通项公式an=a1+(n-1)d,求余下的一个量； 3. 判断一个数列是否为等差数列只需看 是否为常数即可； 4. 利用从特殊到一般的思维去发现数学系规律或解决数学问题. 五、作业： 1、必做题：课本第40页 习题2.2 第1，3，5题 2、选做题：如何以最快的速度求：1+2+3++100= 高斯说：“请同学们预习下一节：等差数列的前N项和。” 【等差数列教案】相关文章： 数学等差数列教案07-12 教案中班教案02-23 教案幼儿中班教案02-15 小班教案健康教案07-08 语言故事教案中班教案11-08 小班健康教案牙齿教案04-01 大班教案伞教案反思03-10 中班教案童谣小鹿飞飞教案06-10 中班音乐教案小兔乖乖教案06-17等差数列教案3
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